數學試題命制要從“結構良好”到“結構不良”

論文作者:匿名 論文來源:http://www.jiuzhousihai.com/ 發布時間:2020/10/31

  摘要:結構不良問題并不是問題本身有錯誤或者不恰當,而是指它沒有明確的結構或解決途徑。結構不良問題的解決有利于高級知識的獲得和能產性思維的培養。數學結構不良問題的命制可以基于結構不良問題的特點、真實的生活情境和數學的學科邏輯。


  關鍵詞:數學試題結構不良生活情境學科邏輯


  近年來,數學試題中的結構不良問題引發了研究者的關注。新建構主義認為,結構不良問題有助于發展學生的思維、遷移和創新能力。


  一、結構不良問題的特點


  結構不良問題并不是問題本身有錯誤或者不恰當,而是指它沒有明確的結構或解決途徑。通過對結構良好問題與結構不良問題的比較(如表1所示),可以看出結構不良問題具有如下特點:(1)給定條件不完全;(2)目標不確定;(3)不明確哪些概念、規則、原理對解決問題有用;(4)常常沒有確定、唯一的答案;(5)往往和具體情境相聯系或與多個知識領域相聯系;等等。


  下面以一個具體的例子來說明:


  (1)命題p:已知A(1,1)、B(-1,1)、C(-1,-1)、D(1,-1),則滿足∠AMD=∠BMC的所有點M都在y軸上。請你判斷這個命題的真假。


  (2)命題p:已知A(1,1)、B(-1,1)、C(-1,-1)、D(1,-1),則滿足∠AMD=∠BMC的所有點M都在y軸上。能夠說明命題p是假命題的一個點M的坐標為。


  這兩個問題是基于同一個背景命制的。問題(1)是結構良好的問題:給出一個具體的命題,判斷它的真假,問題條件清晰、目標明確、答案唯一。而問題(2)的特點是答案不唯一,解決方案多樣化:既可以考慮正方形ABCD外接圓上的點(除A、B、C、D外),又可以考慮如曲線y=x(x>1)等上的點,還可以建立滿足∠AMD=∠BMC的點M的軌跡方程,從中選擇不在y軸上的一個點M。因此,問題(2)具備結構不良問題的特征,雖然只是改變了問法,但更有利于考查學生的思維、遷移和創新能力。


  根據現代認知心理學的研究,結構不良問題主要有三種形式:一是問題的起點、目標明確,也知道若干種解決問題的辦法,但不知道哪種辦法最好;二是問題的起點、目標明確,但不知道解決問題的辦法;三是只有問題的起點明確,問題的目標和解決問題的途徑、方法都不明確。


  二、結構不良問題的功能


  (一)結構不良問題的解決有利于高級知識的獲得


  從知識觀來看,學習可以分為初級和高級兩個層次。解決結構良好問題時,由于問題的設計相對簡單化,學生只需要再現其習得的知識和技能,這使學生獲得的是“惰性知識”,不利于其在具體情境中有效地遷移。新建構主義認為,結構不良問題能夠促進高級知識的獲得,為更復雜知識的掌握和運用做準備。通常,結構不良問題需要學生對問題進行準確的表征,建立問題解決空間,進而促進學生在自主建構中提升問題解決能力和思維能力。


  (二)結構不良問題的解決有利于能產性思維的培養


  德國心理學家韋特海默(M.Wertheimer)提出:能產性思維是指面對一個問題時能產生一個新的解決方案。結構良好問題往往與學生已經解決過的問題相同或相似,學生只需要調用早已知道的解決路徑,就可以合理解決問題。比如,求函數f(x)=x3-15x2-33x+6的單調減區間,學生只需要利用導數和單調性的關系,令f′(x)=3x2-30x-33=3(x+1)(x-11)<0,解得-1


  三、結構不良問題的命制建議


  (一)基于結構不良問題的特點命制


  命制結構不良問題時,可以根據其特點,對條件、結論、方法等問題結構要素進行合理的設置。比如,通過條件部分呈現,或用到的概念、規則、原理不明確,或結論不唯一、解決方法多樣等,設計適度開放的問題。


  在①b1+b3=a2,②a4=b4,③S5=-25這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中。若問題中的k存在,求出k的值;若k不存在,說明理由。


  設等差數列{an}的前n項和為Sn,{bn}是等比數列,,b1=a5,b2=3,b5=-81,是否存在k,使得Sk>Sk+1且Sk+1


  這個結構不良問題的特點是條件部分呈現,需要學生自主選擇適當的條件填入,構成完整的問題。而根據選擇的條件不同,答案也相異:如果填入條件①,那么{an}是首項為-13、公差為3的等差數列,故{an}單調遞增,且a5<0,a6>0,所以存在k使得Sk>Sk+1且Sk+10,所以存在k使得Sk>Sk+1且Sk+1


  這個題目,我們曾在高二的新授課上測試過學生,結果并不理想。究其原因,并不是解題難度大,而是傳統結構良好的題目訓練出來的學生對這類“不走尋常路”的題目甚少接觸,也缺乏靈活選擇信息、運用知識的能力,因此不適應。要改變這種現狀,可以從訓練學生解決結構不良問題著手,讓學生體會問題的豐富性和復雜性,學會對信息的取舍、評價以及推理、判斷。


  (二)基于真實的生活情境命制


  一方面,現實生活中有著大量的結構不良問題,需要解決者從諸多現象中分析、設計出解決方案,這有利于我們設計結構不良問題。另一方面,“學科核心素養實際上就是一種把所學的學科知識和技能遷移到真實生活情境的能力和品質。要養成這種素養,學生的學習應該是在一個又一個基于真實情境的問題中通過體驗、探究來建構自己的知識,發展自己的能力”。所以,我們可以從真實的生活情境出發命制結構不良問題,讓學生運用數學知識和技能分析、解決實際問題。


  (2015年高考全國Ⅰ理科數學卷第19題)某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響。對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)數據做了初步處理,得到散點圖(見圖1)及一些統計量的值(見表2)。


  x-y-w-∑8i=1(xi-x-)2∑8i=1(wi-w-)246.65636.8289.81.6∑8i=1(xi-x-)(yi-y-)∑8i=1(wi-w-)(yi-y-)1469108.8注:表中wi=xi,w-=18∑8i=1wi。


  (1)根據散點圖判斷,y=a+bx與y=c+dx哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)


  (2)根據(1)的判斷結果及表中數據,建立y關于x的回歸方程;


  (3)已知這種產品的年利率z與x、y的關系為z=0.2y-x。根據(2)的結果回答下列問題:


  ①當年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預報值是多少?


  ②當年宣傳費x為何值時,年利潤的預報值最大?


  這一題也屬于結構不良問題,它的特點是源于真實的生活情境,目標不夠清晰。因此,很多學生不能從模糊的問題情境中發現和提出問題解決的目標。其實,發現和提出問題比分析和解決問題難度更大。因為分析和解決問題時,問題的“已知”和“所求”都是清晰的,學生只需要調用已有的知識和方法,就可以得到問題的答案;但是,發現和提出問題時,問題的“已知”和“未知”往往并不清楚,學生需要多角度思考,確定已知條件和解決目標,這對學生的創造性思維提出了要求。


  從散點圖中可以看出,8個點的分布更符合y=c+dx的圖像,因此,y=c+dx適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的回歸方程類型。于是,問題就轉化為求出這個回歸方程。由題意,可得d∧=∑ni=1(wi-w-)(yi-y-)∑ni=1(wi-w-)2=108.81.6=68,c∧=y--d∧w-=563-68×6.8=100.6,因此,y∧=100.6+68x。所以,當x=49時,年銷售量y的預報值y∧=100.6+6849≈576.6,年利潤z的預報值z∧=576.6×0.2-49≈66.32。又因為z∧=-x+13.6x+20.12,所以當x=6.8,即x≈46.24時,z∧取到最大值。


  這個問題受考試模式的限制,提供了兩種模型選擇。其實,如果是課堂教學,可以僅提供收集、處理后的數據信息,請學生嘗試估計年利潤的預報值何時最大。這樣的結構不良問題更有價值,更有助于培養學生發現和提出問題的能力。


  國際上,在“問題解決”的評價方面,比較有影響力的是國際經合組織(OECD)構建的PISA數學測試。這個測試的目的是考查學生是否掌握參與社會生活所需要的問題解決能力和終身學習能力,而其試題幾乎全部是來自真實生活情境的結構不良問題。


  不過,依據上述原則命制試題時,我們還要根據考查意圖進行適當的處理:剔除偏離目標的細枝末節,保留關鍵性事實。在選題時,要貼近學生的知識水平、生活經驗,使學生能充分地理解情境;在知識點上,要與課程標準和教材內容緊密聯系,便于學生找到解決問題的基本依據。


  (三)基于數學的學科邏輯命制


  數學研究(學習)要解決的問題不僅是“是什么”,更側重“為什么”,同時還有“在什么條件下形成這個結論”等。因此,我們可以基于數學的學科邏輯設計結構不良問題:要深入研究教材知識,以教材中的基本問題為依托,開發適宜的情境并科學地設問,將教學內容轉化為符合學科邏輯的結構不良問題,形成“像科學家一樣思考”的問題鏈。


  比如,教學高中數學“導數”這部分內容時,我們多次以三次函數為模型,引導學生學習導數的知識并感受導數在研究函數性質中的工具性作用。因此,我們可以從學生熟悉的三次函數出發,命制以三次函數性質的探究為主體的結構不良問題:


  已知三次函數f(x)=ax3+bx2+cx+d,其中a、b、c、d∈R,且a≠0。記f(x)的圖像為曲線C,已知C的對稱中心為O′-b3a,f-b3a。


  (1)已知S是C上的動點,證明:當且僅當點S在C的對稱中心O′時,過點S且與C相切的直線有且僅有1條;


  (2)如圖2,記過點O′且與C相切的直線方程為y=h(x),該直線與C將平面分為四個部分。過坐標平面內任意一點M(m,n)作C的切線l,判斷直線l的條數,并確定此時點M的位置。


  如果利用這個問題開展研究性學習,學生可以借助信息技術手段合理地猜測數學結論,明確解決問題的思路和方案,再通過自主探究、合作交流等方式嚴格地論證數學結論:當點M在C的對稱中心O′處或點M的坐標滿足n>f(m),


  n>h(m)或n


  nf(m),


  n


  n>h(m)(即點M在圖2中的區域Ⅱ)時,直線l有3條。經歷上述的問題解決過程,學生能逐漸形成主動探究的習慣,培養實踐能力和創新精神。


  如果作為測試題(特別適合改編成為高考數學卷中即將出現的新題型——多項選擇題),我們可以給出一個具體的三次函數,進而給出不同的點M(恰好位于點O′處、曲線C上不同于O′的點處、區域Ⅰ和區域Ⅱ),考查切線的條數,從中反映學生的數學直覺、實踐能力和創新品質。


  總之,數學試題命制從結構良好到結構不良,是新課程、新高考的一個亮點。由于結構不良問題本身的特點給學生提供了更為廣闊的空間,有利于學生發現并提出問題、分析并解決問題能力的培養以及學科核心素養的形成。希望同仁們能重視結構不良問題的命制,讓解決這些問題的過程體現其教育價值,更好地培養學生的數學思維品質。此外,值得一提的是,最大的結構不良問題其實就是數學寫作的主題(話題)。而數學寫作也是當下數學教學研究的一個熱點,值得做更深入的研究。

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